productos notable (trabajo completo)

INTRODUCCION

 

         El producto notable el cual es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.  Y la  Factorizacion que es aquella mediante la cual podemos expresar un objeto o número,  como producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

 

          En este sentido, mediante el desarrollo  del  presente trabajo  de investigación trataremos ambos temas, con el objeto de conocer los principales productos notables  y la factorización, así como la forma de resolverlos adecuadamente. A su vez, podremos observar la relación entre ellos y la utilidad de cada uno de los mismos. A continuación apreciaremos el desarrollo de la presente investigación. .

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRODUCTOS NOTABLES./

 

 

         Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas a los que, debido a la regularidad con la que aparecen en los desarrollos matemáticos, se optó por clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones, con el fin de encontrar una forma que permitiera calcularlos fácilmente.

 

      

      Otra definición, nos señala que  Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas.

 

 

          Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. También son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente

 

 

         Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

 

            Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

 

 

            Los Productos Notables más importantes son:

 

Ejemplos:

 

   1. Solución:

 

      Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

 

      X2 – 2x + 1 = (x – 1)2

 

      Luego: ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

 

      Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos:

 

      (x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

 

      (X3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1

 

      (x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

 

      = 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

   2. Efectuar: ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

 

      M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

 

       Ordenando los productos notables tenemos :

 

      ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

 

      Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

 

      ( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

 

      Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

 

      ( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

 

      Remplazando en la expresión inicial tenemos :

 

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

 

      Ordenando los factores tenemos :

 

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

 

      Aplicando productos notables en "¨ " :

 

      ( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

   3. Simplificar:

      Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos:

 

      Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos:

 

      K = a2 - b2 Rpta.

   4. Simplificar:

   5. Hallar el valor de P:

 

Solución:

 

à P = à à P = 91/2 à

 

    * P = 3 Rpta.

 

 

          FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

 

 

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA

( a + b )2         =          a2 + 2ab +b2

           

(a + b)3           =          a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES            CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )2          =          a2- 2ab + b2

           

(a - b)3            =          a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES         PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(a + b)             (a - b) =          a2 -b2

           

(x + a)             (x + b)             =          x2 + (a+b)x +ab

 

 

 FACTORIZACION./

 

 

          En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

 

         Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede.  Así pues,  factorizar un polinomio es  volver a escribirlo como un producto de polinomios, la propiedad distributiva nos proporciona un método para  factorizar polinomios así como para multiplicarlos.

 

Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

          Binomios

1.         Diferencia de cuadrados

2.         Suma o diferencia de cubos

3.         Suma o diferencia de potencias impares iguales

          Trinomios

1.         Trinomio cuadrado perfecto

2.         Trinomio de la forma x²+bx+c

3.         Trinomio de la forma ax²+bx+c

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

  1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

 ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto  y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da  pero no  como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

  1. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice  escribo

Otros ejemplos de factorización por este método:

  1. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

   y   

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

  1. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas,  y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio

Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONCLUSION

 

           Luego de haber culminado la presente investigación, se puede decir que los productos notables son expresiones  algebraicas que se encuentra con gran frecuencia en los desarrollos matemáticos por lo que hay diferentes tipos,  que permiten realizar cálculos matemáticos mas fácilmente a través de sus formulas.

 

         A su vez,  se puede decir  que en los tres casos se trata de multiplicaciones por eso  se  denomina  producto; la notabilidad se da, por que son casos que se usan mucho, por lo que se acude a la generalización y se obtiene lo que llamamos reglas.

 

          Finalmente, es importante señalar que los productos notables son relevantes en la factorización; ya que en muchos casos la manera mas rápida de factorizar una expresión es reconocerla como un producto notable. Además, cuando se reconocen y utilizan los productos notables se puede reducir el tiempo necesario para efectuar la multiplicación.

 

          Existe diferencia entre los productos notables y la factoizacion, la diferencia es que los productos notables son productos algebraicos que se conocen fácilmente y la factorizacion son descomposiciones de factores.                                                                                                                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAFÍA

 

http://www.auladigital.icyt.df.gob.mx/portafolioescolar/UPLOADS/marko/www/250/0.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/formulpn.htm

www.rmm.cl/usuarios/dponc/File/Productos%20Notables.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://ve.kalipedia.com/matematicas-algebra/tema/factorizacion-polinomios.html?x=20070926klpmatalg_58.Kes

http://www.scribd.com/doc/39272/Factorizacion